부울 대수에서 모든 원소의 보수가 유일함을 증명 2가지

부울 대수에서 모든 원소의 보수가 유일함을 증명 2가지

x가 부울대수의 임의의 원소면 보수법칙에 의해 다음을 만족한다.

x+x’ = 1, xx’ = 0

1. 임의의 보수 y가 존재한다고 가정하자. y = x’임을 보여준다.

일단, y는 x의 보수임으로 아래 조건이 만족한다.

x+y = 1, xy = 0

y = x’임을 증명하겠다.

y = y 1

= y(x+x’)

= yx + yx’

= 0 + yx’ (위에서 만족하는 조건)

= yx’ + xx’

= x’(y+x)

= x’ 1 (위에서 만족하는 조건)

= x’

따라서 y = x’ 이 만족하여 보수는 유일하다.

1. 임의의 보수 b와 임의의 보수 c가 존재한다고 가정하자. b=c임을 보여준다.

일단, b, c 는 x의 보수임으로 아래 조건이 만족한다.

x+b = 1, xb = 0

x+c = 1, xc = 0

b=c임을 증명하겠다.

b = b+0

= b + xc

= (b+x)(b+c)

= (1)(b+c)

= b+c

b+b = b 이므로 b+c = b에서 c = b 를 만족하게된다.